Pospíšil jako předseda správní rady má ve jmenovaných institucích skutečně vliv.

Je třeba poznamenat, že Muzeum Kampa a Werichova vila jsou zřizovány právě Nadací Jana a Medy Mládkových. Pospíšil se stal členem správní rady nadace v roce 2011, v roce 2016 se pak stal jejím předsedou.

Pokud jde o Muzeum Kampa, podle stránek nadace se pod Pospíšilovým vedením „rozšiřuje sbírka nadace a výstavní program se obohatil o představení autorů, kteří kvůli zde panujícímu totalitnímu režimu opustili Československo a jejichž tvorba není dostatečně jejich původně domácímu publiku známá.“ Ve Werichově vile se Pospíšil společně s Medou Mládkovou „věnoval dopracování ideového řešení expozice věnované životu a tvorbě Jana Wericha.“ Pospíšil také „koordinuje celý projekt Oživení Werichovy vily.“